معلومات

حقيقة مهمة قبل الحقيقة الثالثة


باستخدام كلمات أخرى ، يمكننا القول إنه سيكون من المشروع إنشاء مجموعة فرعية ب من ال من الممتلكات أ (س). نكتب: ب = {س Î ال: أ (س)} ، وقراءة "ب هي مجموعة فرعية من ال التي شكلتها مجموعات س التي تنتمي إلى ال والتي ترضي الممتلكات ال”.

عندما ظهرت نظرية Singer Set Theory ، تسمى The Intuitive Set Theory ، كانت هناك فكرة مفادها أن "أي خاصية" يمكن اعتبارها بحيث تشكل الأشياء التي ترضيها مجموعة. وبالتالي ، سيكون هناك دائما مجموعة من المجموعات التي ترضي الممتلكات المهما كانت الممتلكات ال. لذلك قام عالم الرياضيات والفيلسوف برتراند راسل بالشرح التالي: فكر في مجموعة المجموعات س التي لا تنتمي إلى أنفسهم. لرسل الممتلكات ال كان "س لا ينتمي الى س". بدا واضحًا أن هذه المجموعة موجودة ، على سبيل المثال ، مجموعة الأرقام الطبيعية ليست عددًا طبيعيًا وبالتالي فإن مجموعة الأرقام الطبيعية لا تنتمي إلى نفسها. تشكل العديد من الكائنات الرياضية مجموعات لا تعد واحدة من هذه الكائنات. لإعطاء مثال خارج الرياضيات (وهو أمر لا معنى له لأنه خارج الرياضيات نفقد إمكانية التحدث فقط "حقائق صارمة") لمجرد توضيح المزيد ، مجموعة الحصان ليست حصانًا ، تمامًا مثل مجموعة من الرجال إنه ليس رجلاً.

دعونا نفعل كما راسل وندعو M مجموعة من جميع المجموعات. النظر في مجموعة فرعية من M التي شكلتها مجموعات لا تنتمي إلى أنفسهم. سأل Russell عما إذا كان M ينتمي إلى M. إذا كان صحيحًا أن M ينتمي إلى M ، فإن M يرضي الخاصية التي تحدد مجموعات M ، أي أن M لا ينتمي إلى M! لقد وصلنا إلى تناقض ، لمجموعة M لا يمكن أن تنتمي لنفسها وفي الوقت نفسه لا تنتمي إلى نفسها. حسنًا ، كما افترض الفلاسفة اليونانيون القدماء ، لا يمكننا أن نحصل على تصريح حقيقي وكاذب في نفس الوقت ، على الأقل في المنطق الذي تصوروه أنه الصحيح. وبالتالي نحن مضطرون إلى استنتاج أن M لا ينتمي إلى M. ولكن بعد ذلك M يرضي الخاصية التي تحدد مجموعات M. لذلك ، M ينتمي إلى M! تناقض مرة أخرى. هذا الانقسام ، وهذا هو ، هذا القول صحيح إذا ، وفقط إذا كان خطأ ، تسبب في فضيحة في نظرية مجموعة كانتور. كان هذا هو السبب وراء عالم الرياضيات إرنست زيرميلو (1871-1956) "خلقالحقيقة الثانية من نظرية ست ، وهي اكسيوم ZF (2) أعلاه.

اكسيوم ZF (2) ، أي أن الحقيقة الثانية لنظرية مجموعة Zermelo-Fraenkel تمنعنا من بناء التناقض الذي اكتشفه راسل. على افتراض أن هذه البديهية صحيحة ، فإن منطق راسل المذكور أعلاه لم يعد ممكنًا. والسبب هو أنه لم يعد بإمكاننا إنشاء مجموعة M لجميع المجموعات. ببساطة لأن الخاصية وحدها لم تعد تحدد مجموعة. نحن بحاجة إلى مجموعة سابقة ال، وهذا هو ، أن هناك بالفعل مجموعة ال، للنظر في مجموعة فرعية من مجموعات التي ترضي خاصية معينة. لذلك ، لم يعد بإمكاننا ببساطة التفكير في مجموعة المجموعات التي لا تنتمي إلى نفسها. هل هذا هو "مجموعة من س التي لا تنتمي إلى أنفسهمليس مشترك. كما قال عالم الرياضيات بول هالموس ، "لا شيء يحتوي على كل شيء". نترك لك تحديا (فكر ببساطة وبهدوء ...): أظهر أنه ينبع من الحقيقة الثانية ، أي من البديهية ZF (2)التي لا يوجد مجموعة من جميع المجموعات. من المثير للاهتمام أن نلاحظ أنه على الرغم من أنه لا يزال لدينا أي سبب لوجود مجموعات ، يمكننا بالفعل إثبات ذلك لا يوجد مجموعة من جميع المجموعات. اكتبها: من الناحية النظرية التي لدينا حتى الآن ، ما زلنا لا نعرف ما إذا كان صحيحًا أن هناك أي مجموعة ، ولكن صحيح بالفعل أن مجموعة جميع المجموعات غير موجودة!

العودة إلى الأعمدة

<